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Théorie des corps

  • ECTS

    6 crédits

  • Composante

    Sciences Fondamentales et Appliquées

Description

Cet enseignement permet de poser la base de la théorie des corps en vue des applications : cette théorie est utilisée de façon intensive dans la théorie des nombres, la cryptographie et la géométrie algébrique. Elle est aussi indispensable pour préparer le concours de l'Agrégation.

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Objectifs

La première partie du cours est consacrée à l'étude des anneaux de polynômes, en particulier les polynômes symétriques et les résultants. Les extensions de corps sont centraux dans la deuxième partie du cours. On y considère les extensions algébriques et normales puis les morphismes d'extensions. Les corps de rupture et de décomposition y sont également étudiés. L'existence de la clôture algébrique est admise. A la fin du cours, la théorie est illustrée dans le cas de corps finis.

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Heures d'enseignement

  • Théorie des corps - TDTD30h
  • Théorie des corps - CMCM20h

Pré-requis nécessaires

algèbre linéaire, théorie des anneaux

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Compétences visées

A l'issue de cet enseignement l'étudiant devra

– Savoir calculer et décrire les extensions de petit degré du corps des nombres rationnels

– Maîtriser le lien polynôme -- racines du polynôme : existence et multiplicité de racines

– Savoir construire tout corps fini d'ordre donné (puissance d'un nombre premier)

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Bibliographie

– J.-P. Escoffier, Théorie de Galois

– T. Hungerford, Algebra

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