Formes quadratiques et optimisation

Formes quadratiques sur Rn et matrices symétriques.

Réduction des formes quadratiques, forme normalisée, diagonalisation dans une base orthonormale.

Signature d'une forme quadratique.

Formes quadratiques semi-définie positives et définies positives. Caractérisations (théorème de Sylvester).

Applications à l'optimisation sans contrainte des fonctions à plusieurs variables : Condition nécessaire d'extremum local du premier ordre, condition nécessaire et condition suffisante du 2nd ordre. Cas des polynômes du 2nd degré. Cas des fonctions convexes.

Applications à l'analyse en composantes principales.

Approfondir les connaissances sur les formes quadratiques et les matrices symétriques, et les appliquer à des problèmes d'optimisation et de statistique.

Espaces Euclidiens, Fonctions de plusieurs variables (L2)