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Formes quadratiques et optimisation

  • Composante

    Sciences Fondamentales et Appliquées

Description

Formes quadratiques sur Rn et matrices symétriques.

Réduction des formes quadratiques, forme normalisée, diagonalisation dans une base orthonormale.

Signature d'une forme quadratique.

Formes quadratiques semi-définie positives et définies positives. Caractérisations (théorème de Sylvester).

Applications à l'optimisation sans contrainte des fonctions à plusieurs variables : Condition nécessaire d'extremum local du premier ordre, condition nécessaire et condition suffisante du 2nd ordre. Cas des polynômes du 2nd degré. Cas des fonctions convexes.

Applications à l'analyse en composantes principales.

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Objectifs

Approfondir les connaissances sur les formes quadratiques et les matrices symétriques, et les appliquer à des problèmes d'optimisation et de statistique.

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Heures d'enseignement

  • Formes quadratiques et optimisation - CMCM10h
  • Formes quadratiques et optimisation - TDTD15h

Pré-requis nécessaires

Espaces Euclidiens, Fonctions de plusieurs variables (L2)

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